produit de deux permutations

Il y a plusieurs approches pour montrer ceci. d?signent respectivement des permutations de E et F, on d?signe par a X ? Formule de Pascal. Soient 1. ensemble produit direct de E et F. Si a et ? Muni de la loi de composition des applications, S n est un gr oupe. Pour avoir la décomposition en produit de transpositions, je n'ai pas en tête un algorithme précis, mais dans les cas simples, par exemple ta permutation, on remarque que deux transpositions sont déjà présentes : $(18)(57)$, alors il ne reste plus qu'à décomposer $(364) = (36)(46)$ et le tour est joué. les transpositions seront étudiées à la section suivante. Secondaire 3. 4. La compos ee de deux permutations de parit es oppos ees est impaire. D Þnition. τi,k τi,j est le 3-cycle : i →j j →k k →i, ce qui montre Soient i, j et k trois éléments deux à deux distincts de J1,nK. est également une isométrie ; enfin le produit de T 1 et T 2 n'est autre que le quotient de T 1 par (T 2)-1. 3) Intersection de deux plans Soient ( ) et ( ) deux plan sécants dans l’espace suivant une droite (Δ), Soient n un vecteur normal sur ( ) et m un vecteur normal sur ( ) Si u est un vecteur directeur de (Δ) alors : nu.0 et mu.0 et on sait que : m n m n n m. . ... Toutes les permutations sont logées dans LL et avec q la quantité de permutations. M. Krasner, L. Kaloujnine, "Produit complet des groupes de permutations et problème d'extension de groupes I" Acta Sci. Conjuguaisons. You will be redirected to the full text document in the repository in a few seconds, if not click here.click here. [Indication: Utiliser une décomposition en produits de cycles à supports disjoints, cf ex. L'exemple d'amwus est déjà un cycle de longueur 5: (1 5 3 2 4) Envoyé par amwus. L'analyse combinatoire " est le domaine de la mathématique qui s'occupe de l'étude de l'ensemble des issues, événements ou faits (distinguables ou non tous distinguables) avec leurs arrangements (combinaisons) ordonnés ou non selon certaines contraintes données. Exemple de permutation des nombres 1 à 4 . Définition 1. Recall from the Cycles in Permutations page that if we have the -element set and is a permutation of this set, then a cycle of length denoted where are distinct is a permutation where , , …, , and and where all other elements in the permutation are mapped to themselves. Corollaire. Cours MPSI - 2017/2018 Le Groupe Sym´etrique http://pascal.delahaye1.free.fr/ D´efinition 3 : Support d’une permutation On appellesupportd’une permutation σ ∈ Snl’ensemble des ´el´ements de [[1,n]] non invariants. Ainsi, le support de σ = 1 2 3 4 5 2 5 3 1 4 La permutation 2 1 échange de position les deux éléments 1et 2et est appelée la transposition 2 1. Les permutations de signature 1 sont dites paires, les autres impaires. Exercice 4 . Avec 111223, on a: 6! Exercice 3. 1.2 Orbitesetcycles Déﬁnition2 ... {Id}est produit de cycles de supports deux à deux disjoints,etuntelproduitestuniqueàl’ordreprèsdesfacteurs. Je vais supposer que c'est sous la forme d'une matrice à deux lignes. La loi de compositionsur les Elle est constituée de deux sous-ensembles disjoints. Permutations as Products of Cycles. Th´eor `eme 2 : D´ecomposition d’une permutation en produit de cycles Soit une permutation σ ∈ Sn. Envoyé par GuYem. 1. Calculer , et . Soit = (1;:::; p) un cycle et ˙une autre permutation de S n. Décrire la permutation ˙ ˙ 1. via les matrices de permutation. Cette d ecomposition est unique a l’ordre pr es des facteurs. Title: Microsoft Word - 02 Permutations.doc Author: Ismael Created Date: 4/8/2006 7:20:42 Méthode détaillée et exemples. G. Boccara, Nombre de representations d’une permutation comme produit de deux cycles de longeurs donnees, Discrete Math. Comment écris-tu tes permutations ? On v´eriﬁe facilement que la compos´ee de deux permutations de J0,n−1Kest une permutation de J0,n−1K. Décomposition en produit de transpositions. Calculer sous forme canonique ˙ ˝, ˙2 ˝, ˙ ˝ 1. Soit P'E Sym (n), A' et A" deux parties non disjointes de A, et P la permutation de A' f1 A_" obtenue partir de P par "fixation" des points de A - A' fl A"; le Thre 3.11 de [2] montre que le nombrt- , couples (a, ) tels que a soit un cycle de support A', un cycle de support A", et tels que P= aest al au nombre Ae couples ( (3) tels que et soient deux cycles de support A' fl A" et tels que P = . Produit scalaire. La compos ee de deux permutations de parit es oppos ees est impaire. Permutations d’un ensemble fini Notations E est un ensemble non vide et IdE est l’application identité sur E. On note S (E) le groupe des bijections de E sur lui même. Le coefficient am,0 est appelé le pivot de l’étape 0. permuter les lignes d’indices 0 et m. Le produit scalaire est donc : positif pour θ aigu, négatif pour θ obtus Forme géométrique Cas de deux vecteurs portés par deux … E et y ? De mˆeme, la soustraction de deux tenseurs donne un tenseur dont les composantes sont obtenues par soustraction. Par exemple si j'étudie les pemutations de … • S2 =S(J1,2K)est constitué de deux éléments : l’identité et la permutation 2 1. D´eﬁnition 1.2. Math. Th eor eme 3 Toute permutation de S nse d ecompose en produit ni de cycles a supports disjoints deux a deux. Chaînes de Markov. " Ceci se traduit aussi le fait que le produit de deux permutations de m^emes parit es est paire et le produit de deux permutations de parit es di erentes est impaire. 38, No. Définition Le produit scalaire de deux vecteurs et , noté , est un scalaire égal au produit des normes des deux vecteurs par le cosinus de leur angle . Déterminants, produits et inversion de matrices. UVSQ, année 2007–2008, module MI 160 : Combinatoire S. Brochard, H. Fournier Université de Versailles – Saint-Quentin Licence – 3ème année Année universitaire 2007–2008 Module MI 160 : Combinatoire Feuille de TD n˚2 : Le groupe symétrique. Ceci permet de calculer des longueurs (application du théorème de Pythagore). Exemple de permutation des nombres 1 à 4 . Proposition : commutativité de deux cycles à supports disjoints 3 1.7. Proposition : décomposition d'une permutation en produit de cycles 3 1.8. Corollaire : les transpositions engendrent le groupe symétrique 5 2. Signature d'une permutation. L'orbite de i désigne l'ensemble des images de i par composition successive de s. Je note s, une permutation. Toute permutation de support fini peut être décomposée en un produit de transpositions. Soient ˙et ˙0deux permutations de S n. La décomposition de ta permutation en produit de cyles à supports disjoints est : (1 5 3 4) (il n'y a qu'un cycle!) Proposition : décomposition d'une permutation en produit de cycles 3 1.8. Corollaire 1 S nest engendr e par ses cycles. Soient X et Y des ensembles non vides, soient H et K des groupes de permutations des ensembles X et Y respectivement. Calculer ces trois transpositions. Des permutations figurées qui sont symétriques par rapport au centre et qui nont aucune tour sur une diagonale . deux permutations de Z qui engendrent un sous-groupe dense du groupe sym etrique Sym(Z). Corollaire : les transpositions engendrent le groupe symétrique 5 2. 4. Je suis à essayer de comprendre la meilleure façon de fusionner deux listes dans toutes les combinaisons possibles. Proposition 14. x 2! Home Browse by Title Periodicals Discrete Mathematics Vol. 1. manières de classer ceux qui restent). Montrer que A n est engendr e par les (n 2) 3{cycles (123);(124);:::;(12n). La compos´ee de deux permutations de J0,n−1K, σ et σ0, est l’application σ σ0, au sens habituel des fonctions. Soient • Pour n ≥ 2 , on appelle « factorielle n » et on note n! Alors, de , … Elle se d´ecompose de facon unique en un produit ﬁni de cycles de supports disjoints. On peut donner la « table de Pythagore» du groupe Soit ˙une permutation de S ... Montrer que le produit de deux transpositions distinctes de S nest un 3-cycle ou un produit de deux 3-cycles. interne dans R (car le produit de deux r eels non-nuls est encore un r eel non-nul). Produit direct de permutations. G. Boccara, Cycles comme produit de deux permutations de classes donnees, Discrete Math., 38 (1982), 129–142. GitHub Gist: instantly share code, notes, and snippets. Des permutations figurées qui sont symétriques par rapport au centre et qui nont aucune tour sur une diagonale . On appelle groupe altern e, et on note A n l’ensemble des permutations paires. Enﬁn, on montre que si on connait un Sylow d’un groupe G, on peut en trouverunpourunsous-groupeH. Quels sont les ordres de ˝, ˙, ˙ ˝, ˙2 ˝, ˙ ˝ 1? Python fusionne deux listes avec toutes les permutations possibles. Précisément, pour deux permutations σ et σ', appliquer σ' puis σ revient à appliquer une permutation appelée le produit de σ et σ'. La notation des permutations est bien adaptée au calcul du produit de composition. Exemple. On a donc . Parit e d’une permutation D e nition Laparit ed’une permutation est egale a la parit e du nombre de transpositions qu’il faut composer a n d’obtenir cette permutation. Exercice : Déterminer le cardinal d'un produit cartésien d'ensembles finis. Calcul en ligne du nombre de permutation d'un ensemble de n éléments. Preuve 2 : Non exigible. Supposons que soit inversible. On pourra obtenir, par ce moyen, les valeurs de K relatives aux diverses permutations que l'on peut former avec les indices t, 2, '. Cycles condme produit de deux permutations de classes donns 137 Pour montrer que E(F f, K) = -1, donc que (h + k -1)8 < 1on fait un raisonnement par rurrence sur h + k. Si h + k = 2, alors h == k =1 et E(H, K) =- -1. Euh, l'image de 3 c'est 2. valeur de K sera évidemment la permutation inférieure dont on vient de parler. Une telle décomposition. On a 90 numéros dans une urne , et l’on en tire 1 , ou 2 , ou 3 ou 4 , ou 5 ; ou 6 , quelle chance a-t-on que les numéros sortants soient ceux qu’on aurait désignés d’avance ? Exemples I L’identit e est une permutation paire. Par contre, dans ce cas, le tenseur obtenu a un ordre ´egal a la somme des ordres des tenseurs multipli´es. MathSciNet CrossRef zbMATH Google Scholar. 3.3 Signature d’une transposition Th eor eme. Soit n 3 un entier. Calculer et . S n, est appel le gr oupe sym trique ou gr oupe des permutations de X . Une loi binaire est une loi qui à deux éléments d’un même ensembleassocie un troisième élément. Ce résultat a un certain nombre d'importants corollaires. Soient les deux permutations A=(2,3,4,5,7,1,6) et B=(1,3,5,6,7,4,2), calculer leurs inverses, les composition AoB et BoA, les décompositions en cycles disjoints. Remarques sur les cycles 3 1.5. Ainsi, S2 = Id{1,2},τ1,2 ou plus simplement S2 = {Id,τ1,2}. On considère ici un flow shop de permutation, c'est-à-dire une chaîne de fabrication où les produits ne se doublent pas entre les postes (ou les machines), l'ordre d'exécution des produits est donc le même sur toutes les machines. Décomposer les permutations suivantes en produits de cycles à supports disjoints, et déterminer leur signature. Malgré le cour je ne sais pas comment m'y prendre pour chacune des parties de la question. Cette décomposition est unique à l'ordre près. Définition – produit en couronne de deux groupes de permutations. Si E et F d?signent deux ensembles, on d?signe par E X F l'ensemble des couples (x, y) o? Le produit mixte est invariant : par permutation circulaire des trois vecteurs : \(\Big(\overrightarrow{U} ... Si le produit mixte contient deux vecteurs identiques alors celui-ci est nul : \(\Big ... Produit vectoriel de deux vecteurs. Download books for free. 1.3. deux permutations de S 5. ( ) Tout élément de s’écrit comme le produit d’au plus ( ) transpositions telles que ( ) , ( ) et ( ) si . F. E x F est appel? mutation ˙le nombre 1 ou 1 et telle que la signature de la composée de deux permutations est le produit des signatures des permutations. Comme toutes les permutations du Rubik's Cube sont des suites de rotations élémentaires (on dit aussi des produits), il en résulte qu'elles sont toutes paires : le produit de deux permutations paires est pair, tout simplement parce que la somme de deux nombres pairs est encore un nombre pair. 2°) Supposons d'ordre et d'ordre . La calculatrice peut calculer le nombre de permutation d'un ensemble en donnant les résultats sous forme exacte : ainsi pour calculer le nombre de permutation d'un ensemble de 5 éléments, il faut saisir permutation ( 5) , après calcul, le résultat est renvoyé. Math. On peut former une partition de l’ensemble des inversions de ˙˝, et d enombrer. Autrement dit, si est un ensemble,une loi binaire sur est une fonction . Calculer le produit de deux fractions. Proposition : commutativité de deux cycles à supports disjoints 3 1.7. 1 .] 2-3 Cycles comme produit de deux permutations de classes donnees article Cycles comme produit de deux permutations de … Exercice : Connaître les caractéristiques de la factorielle. Permutation circulaire. Si deux permutations ′ sont appliquées successivement (′ è ), le résultat est une permutation notée ′, le produit des deux permutations. On en déduit une caractérisation de l'ensemble des entiers ι pour lesquels un ι-cycle peut être décomposé e; un produit de deux permutations appatenant respectivement aux classes H et K. Dans le cas oú cet ensemble n'est pas vide, c'est l'ensemble … 0 on en déduit que et nm des permutations de signature −1, par exemple les transpositions. Il s’agit de montrer que si une permutation se décompose de deux manières comme un produit de transpositions, les nombres de transpositions intervenant dans ces deux décompositions ont la … Autrement dit une transposition est une permutation entre deux éléments. 2 ) PERMUTATIONS ET NOTATION FACTORIELLE Définition et propriété • Une permutation d’un ensemble E ayant n éléments est un arrangement des n éléments de E . Page 124 - le produit » d'une somme de deux carrés par une somme de deux carrés est égal à 11 une somme de deux carrés. , le produit de tous les entiers non nuls inférieurs ou égaux à n: n ! ... (1, 2, 3). Produit scalaire de deux vecteurs. 3. Les transpositions sont impaires. ... (1, 2, 3). 3. Voir le cas de Mississippi pour explications. Je voudrais montrer que les orbites des éléments de s forment une partition de s. 2. Szeged, 13 (1950) pp. Exercice 5. Python fusionne deux listes avec toutes les permutations possibles. Définition: Le produit scalaire des vecteurs et , noté , est le réel défini par :, si et , où et ;, si ou . Le dénombrement correspond au calcul du nombre de résultats de l'univers des résultats possibles lors d'une expérience aléatoire à plusieurs étapes. Permutations d`un ensemble fini Notations E est un ensemble non. 208–230 [2b] M. Krasner, L. Kaloujnine, "Produit complet des groupes de permutations et problème d'extension de groupes II" Acta Sci. ... Toutes les permutations sont logées dans LL et avec q la quantité de permutations. 3. Je suis à essayer de comprendre la meilleure façon de fusionner deux listes dans toutes les combinaisons possibles. Page 124 - le produit » d'une somme de deux carrés par une somme de deux carrés est égal à 11 une somme de deux carrés. D monstration. Une permutation paire est donc la composée d'un nombre pair de transpositions. Décomposer sous forme canonique ˙et ˝. = 720 permutations dont 3! 9 est engendré par les deux permutations g 0 = (1;2;3;4;5;6;7;8;9) et g 1 = (1;2). I Tout 3-cycle est pair. On a d´ej`a fait la remarque qu’une d´ecomposition en produit de transpositions est n’est pas unique, mais ce th´eor`eme nous dit que la parit´e du nombre de trans-positions intervenant dans une telle d´ecomposition est par contre bien d´eﬁnie. Il faut bien comprendre qu'un nombre situé dans la ligne du bas représente l'image du nombre situé juste au-dessus de lui. We are not allowed to display external PDFs yet. Exercice : Déterminer le nombre de k-uplet d'un ensemble fini avec répétition. Nous pouvons donc dire: Un ensemble P de permutations est un groupe de permutations si et seulement si le quotient de deux quelconques appartient à P. Un seul axiome suffisait à Euclide pour définir un groupe de permutations ! Déterminer card et écrire tous les éléments de , puis écrire la table de et en déduire tous les sous-groupes de . = n ( n – 1 ) ( n – 2 ) × … × 2 × 1 Démonstration ii) : On le démontre par récurrence sur . permutations Dans le cas de répétitions de chiffres, la quantité de permutations est divisée par le produit des factorielles des quantités de chaque chiffre. Double produit vectoriel de trois vecteurs. 1°) Il suffit de voir pour un produit de deux permutations à supports (= ensemble des éléments qui ne sont pas fixés par la permutation) disjoints, disons et . D e nition 6 L’ordre d’une permutation ˙ de E est le plus petit entier r 1 tel que ˙r= I E. Proposition 2 L’ordre d’un cycle de longueur kest k. Proposition 3 Soit ˙une permutation de E˙= c 1c 2:::c m sa factorisation en produit de cycles de supports disjoints. Le produit en couronne de H et K (ou de H par K) est par définition le sous-groupe de S X×Y engendré par les. Feuille de TD n˚2 : Le groupe symétrique. "p ˙ 1q "p ˙q D e nition. Il s’agit de montrer que si une permutation se décompose de deux manières comme un produit de transpositions, les nombres de transpositions intervenant dans ces deux décompositions ont la … Dans tout ce chapitre on se place dans un repère orthonormé. ... permutation circulaire et change de signe si on effectue sur ces vecteurs une transposition. Par exemple, si = (3,2,4,1) et ′ = (2,1,4,3) , alors ′ = (4,1,3,2) Proposition La composition de deux permutations paires est paire. Toute permutation peut être décomposée en un produit unique de cycles disjoints. Cacluler et . Exemples I L’identit e est une permutation paire. x ? Groupes de permutations et groupes d’isom etries 2016-2017 Contr^ole continu 2 - Corrig e Exercice 1 (6 pts). I Question 3 Programmez une fonction compose qui prend pour arguments deux tableaux repr´esentant des On peut trouver une expression de ˙en fonction de ces générateurs : 1. sage: g = S9.gens() ... Expliquer pourquoi ˇ2001 est produit de trois transpositions disjointes. L’ordre de ˙est le plus petit commun multiple des ordres des c i, pour 1 e q. je voudrais permuter deux lignes d'une matrice voila la procedure : 1 Rechercher, parmi les coefficients a0,0 a1,0 … an-1,0 de la première colonne, celui dont la valeur absolue est la plus grande ; soit m l’indice de sa ligne. L'ensemble des permutions sur est un groupe, (non commutatif), appelé groupe symétrique d'orde et noté. Th eor eme 4 Tout cycle se d ecompose en produit de transpositions. 29 (1980), 105–134. Deux telles permutations commutent. 1. Calculer ces trois transpositions. 21. Définition d'un cycle, de sa longueur, de son support 2 1.4. Dé nition. 1.3. Exercice 3. On note I d la permutation identit e. On rappelle que S n est un groupe pour la composition (contient un el ement neutre I d, tout produit de permutation est encore une permutation, toute permutation admet une permutation inverse). I Produit scalaire (de deux vecteurs !) Une bijection de I n est appell ee permutation. Opérations élémentaires On peut déﬁnir des opérations élémentaires sur les matrices ... P1 matrice de permutation De plus, le produit de composantes Proposition : décomposition d'une permutation en produit de cycles 3 1.8. Corollaire : les transpositions engendrent le groupe symétrique 5 2. Signature d'une permutation. Groupe alterné 6 2.1. Définition : signature d'une permutation 6 2.2. Remarques sur la signature 6 2.3. Théorème : la signature est un morphisme surjectif de groupes 6 2.4. A nest engendr e par ses cycles de longueur 3. Une permutation de l'alphabet de 26 lettres est un mot de 26 lettres contenant chaque lettre une fois et … Les éléments de An sont les produits pairs de transpositions. Produit d’une matrice A par un réel ... permuter deux lignes ou deux colonnes entre elles respectivement – p. 18/22. Exemple 11. chap 28 - vidéo 4auteur : Nicolas HUBERT, professeur de mathématiques en MPSI Classes de conjugaison 1. Permutations en scheme. 9 est engendré par les deux permutations g 0 = (1;2;3;4;5;6;7;8;9) et g 1 = (1;2). Cycles comme produit de deux permutations de classes donnees | G. Boccara | download | BookSC. 2. Exercice : Déterminer le cardinal d'un produit cartésien de deux ensembles finis. Une telle décomposition n'est pas unique : on peut par exemple ajouter un échange de deux cartes, puis l'échange des deux mêmes cartes. L’addition et la multiplication sont des exemples de loi binaire. Les permutations, les arrangements et les combinaisons. 0.3 Produit direct d'ensembles. Montrer que A n est engendr e par les 3{cycles. Szeged, 14 (1951) pp. Parit e d’une permutation D e nition Laparit ed’une permutation est egale a la parit e du nombre de transpositions qu’il faut composer a n d’obtenir cette permutation. C’est le noyau de ". C’est le noyau de ". Une loi binaire est dite commutative si pour tout et tout . = 12 fois redondantes soit: 720 / 12 = 60 permutations pures. La question de savoir si R est lui-m^eme un groupe pour la loi :est donc fond ee. Montrer qu’un produit de deux transpositions de A n peut s’ ecrire comme un produit de 3{cycles. I Tout 3-cycle est pair. Corollaire 2 S Exprimer ˝comme un produit de transpositions de la forme (i;i+ 1). 39–66; 69–82 Elle se note τ1,2 (ou aussi τ2,1). Elle est constituée de deux sous-ensembles disjoints. c) Trois vecteurs de l’espae sont oplanaires si leur produit mixte est nul et Solution : On v eri e les deux formules: ), Il; et, si l'on représente par K, K', K", les valeurs dont il s'agit, leur nombre sera égal au produit i … - Pour , il n’y a que éléments et compos´ee des deux applications : par exemple, l’image de 2 par la permutation de droite du produit est 3, puis on prend l’image de 3 par la permutation a gauche, qui est encore 3, pour en conclure que le produit envoie 2 sur 3. Produit vectoriel de deux vecteurs A. Définition : A, et sont trois points de l’espae. Le produit de deux tenseurs (produit tensoriel) se fait en multipliant les composantes. Les cycles de la d´ecomposition correspondent aux diﬀ´erentes orbites de σ et commutent deux a deux. On appelle groupe altern e, et on note A n l’ensemble des permutations paires. ; On considère un triangle équilatéral du plan, de sommets .. Montrer que les isométries du plan qui préservent forment un groupe pour la loi , que l'on note . Tout élément de Sn peut se décomposer en un produit (commutatif) de cycles de supports disjoints. Déterminant et les permutation. Groupes quotients monter: Groupes finis précédent: Groupes Groupes de permutations. Cela signi e qu’il existe deux permutations f et g telles que, pour toute permutation h et tout entier N, il existe une composition de f, g, f 1 et g 1 qui Par exemple, cela signifie qu'on peut, par des échanges deux à deux, modifier à volonté l'ordre des cartes d'un paquet. Pour toute permutation σ ∈ Sn , … Par exemple, cela signifie qu'on peut, par des échanges deux à deux, modifier à volonté l'ordre des cartes d'un paquet. dans cet océan de permutations à l’aide d’algorithmes. Les déterminants ont un comportement très simple vis à vis du produit matriciel, comme le montre le résultat suivant, donné sans démonstration. Corollaire. Soient f,g S n.Alors la compos e g f est une applicat ion de X dans lui-m me, et est une bijection en tant que compos e de deux applications bijectives. Si h + k : 3, alors p est strictcment incluse dans q. Toute permutation peut être décomposée en un produit de transpositions. Proposition La composition de deux permutations paires est paire. Exercice 1402. Nous définissons dans cet article la parité d'une permutation par le comptage de ses inversions (en). Permutation circulaire. On peut trouver une expression de ˙en fonction de ces générateurs : 1. sage: g = S9.gens() ... Expliquer pourquoi ˇ2001 est produit de trois transpositions disjointes. Une telle écriture n'a rien d'unique : l'ordre de deux cycles disjoints peut être changé, on peut toujours insérer deux fois la même permutation dans le produit sans changer le résultat, etc. Cela signifie que (′)() = ′()). 3.3 Signature d’une transposition Th eor eme. Il suﬃt donc de vériﬁer qu’un produit de deux transpositions est un produit de cycles de longueur 3. Find books Toute permutation peut être décomposée en un produit unique de cycles disjoints. Exemple 1 : On dit qu’une permutation ˙est un cycle si 9i 1;:::;i "p ˙ 1q "p ˙q D e nition. J'ai fait : (1) (23) (475) (68) mais je ne sais pas du tout si c'est bien cela qu'il faut faire... (1) car 1 est l'image de lui-même, (23) car 3 est l'image de 2, lui-même image de 3, et ainsi de … Remarques sur le support 3 1.6.

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